Question

7．已知曲線C上任一點M（x，y）到點E（-1，$\frac{1}{4}$）和直線a：y=-$\frac{1}{4}$的 距離相等，圓D：（x-1）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=r²（r＞））
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點A（-2，1）作曲線C的切線b，并與圓D相切，求半徑r；
（Ⅲ）若曲線C與圓D恰有一個公共點B（x₀，（x₀+1）²），且在B點處兩曲線的切線為同一直線d，求半徑r．這時，你認為曲線C與圓D共有幾條公切線（不必證明）？（注：公切線是與兩曲線都相切的直線，切點可以不同．）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得：$\sqrt{（x+1）^{2}+（y-\frac{1}{4}）^{2}}=|y+\frac{1}{4}|$，兩邊平方并整理得曲線C的方程；
（Ⅱ）由y=（x+1）²，利用導數求得過點A（-2，1）的拋物線的切線b的方程，由圓心（1，$\frac{1}{2}$）到直線b的距離等于半徑求得圓D的半徑r；
（Ⅲ）設直線d與曲線C切于點B（x₀，（x₀+1）²），利用導數求出d的斜率k₁=2（x₀+1），再由兩點求斜率得到${k}_{BD}=\frac{（{x}_{0}+1）^{2}-\frac{1}{2}}{{x}_{0}-1}$，由直線垂直與斜率的關系列式求得B的坐標，再由兩點間的距離公式求得半徑r．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：$\sqrt{（x+1）^{2}+（y-\frac{1}{4}）^{2}}=|y+\frac{1}{4}|$，
兩邊平方并整理得：y=（x+1）²．
∴曲線C的方程為y=（x+1）²；
（Ⅱ）由y=（x+1）²，得y′=2（x+1），
∵點A（-2，1）在拋物線C上，∴切線b的斜率為y′|_x=-2=-2．
則切線b的方程為y-1=-2（x+2），即2x+y+3=0．
又b與圓D相切，
∴圓心（1，$\frac{1}{2}$）到直線b的距離等于半徑，
即r=$\frac{|2+\frac{1}{2}+3|}{\sqrt{5}}=\frac{11\sqrt{5}}{10}$；
（Ⅲ）∵直線d與曲線C切于點B（x₀，（x₀+1）²），
∴d的斜率k₁=2（x₀+1），
∵D（1，$\frac{1}{2}$），顯然x₀≠1，∴${k}_{BD}=\frac{（{x}_{0}+1）^{2}-\frac{1}{2}}{{x}_{0}-1}$．
又d與圓D也切于B點，∴d⊥BC，即k₁•k_BD=-1．
∴$2（{x}_{0}+1）•\frac{（{x}_{0}+1）^{2}-\frac{1}{2}}{{x}_{0}-1}=-1$，得$2（{x}_{0}+1）^{3}-（{x}_{0}+1）=1-{x}_{0}$，解得x₀=0．
得B（0，1），
此時r=|BD|=$\sqrt{（0-1）^{2}+（1-\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．
曲線C與圓D共有3條公切線．

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，訓練了直線垂直與斜率關系的應用，是中檔題．