Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且邊長為1的菱形。側面PAD是正三角形，其所在側面垂直底面ABCD，G是AD中點。
（1）求異面直線BG與PC所成的角；
（2）求點G到面PBC的距離；
（3）若E是BC邊上的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD，并說明理由。

Answer 1

（1）（2）（3）F為PC中點

（1）∵△PAD為正三角形，G為AD中點，

∴PG⊥AD
又PG面PAD，面PAD⊥面ABCD
面PAD∩面ABCD=AD
∴PG⊥面ABCD，又GB面ABCD
∴PG⊥GB
又∵∠DAB=60°，四邊形ABCD為菱形，
∴BA=BD
∴BG⊥AD
以G為原點，GB所在直線為x軸，GD所在直線為y軸，GP所在直線為z軸，建立（如圖所示）空間直角坐標系G—xyz，則G（0，0，0），，，

∴GB與PC所成角θ的余弦值為：


（2）設面PBC的一個法向量為
由和得

∴G到面PBC的距離
（3）設存在F點，使面DEF⊥面ABCD，且F分的比為
則
∵∠DAB=60°，∴BD=DC，又∵E為BC中點，∴BC⊥DE
由BC面ABCD，面DEF∩面ABCD=DE知
BC⊥面DEF

即
∴F為PC中點