Question

如圖，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長都相等，且側棱垂直于底面，由
B沿棱柱側面經過棱C C₁到點A₁的最短路線長為,設這條最短路線與CC₁的交
點為D．
（1）求三棱柱ABC－A₁B₁C₁的體積；
（2）在平面A₁BD內是否存在過點D的直線與平面ABC平行？證明你的判斷；
（3）證明：平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁．

Answer 1

(1)  (2)在平面A₁BD內存在過點D的直線與平面ABC平行  
(3)證明見解析

(1)如圖，將側面BB₁C₁C繞棱CC₁旋轉120°使其與側面AA₁C₁C在同一平面上，點B運動到點B₂的位置，連接A₁B₂，則A₁B₂就是由點B沿棱柱側面經過棱CC₁到點A₁的最短路線。                                            ……………………………………1分
設棱柱的棱長為，則B₂C=AC=AA₁＝,
∵CD∥AA₁∴D為CC₁的中點，……………………………2分
在Rt△A₁AB₂中，由勾股定理得，
即　解得，……………………4分
∵∴ ……………………………………6分
(2)設A₁B與AB₁的交點為O,連結BB₂,OD，則……………………………7分
∵平面，平面 ∴平面，
即在平面A₁BD內存在過點D的直線與平面ABC平行   ……………………………9分
(3)連結AD,B₁D∵≌≌
∴  ∴……………………………11分
　∵    ∴平面A₁ABB₁     ……………………………13分
又∵平面A₁BD   ∴平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁  ……………………………………14分