Question

設函數f（x）=x²+bx-alnx，
（Ⅰ） 若x=2是函數f（x）的極值點，1是函數f（x）的一個零點，求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ） 若對任意b∈[-2，-1]，都存在x∈（1，e）（e為自然對數的底數），使得f（x）＜0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求導得到f′(x)=2x-

a

x

+b，由，f（1）=1+b=0，得到a與b的值，繼而求出函數的解析式，
（Ⅱ）令g（b）=xb+x²-alnx，b∈[-2，-1]，問題轉化為在x∈（1，e）上g（b）_max=g（-1）＜0有解即可，亦即只需存在x₀∈（1，e）使得x²-x-alnx＜0即可，連續利用導函數，然后分別對1-a≥0，1-a＜0，看是否存在x₀∈（1，e）使得h（x₀）＜h（1）=0，進而得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=2x-

a

x

+b，
∵x=2是函數f（x）的極值點，
∴f′（2）=4-

a

2

+b=0．
∵1是函數f（x）的零點，得f（1）=1+b=0，
由

4- a 2 +b=0 1+b=0

，
解得a=6，b=-1．
∴f（x）=x²-x-6lnx，
（Ⅱ）令g（b）=xb+x²-alnx，b∈[-2，-1]，則g（b）為關于b的一次函數且為增函數，
根據題意，對任意b∈[-2，-1]，都存在x∈（1，e）（e 為自然對數的底數），使得f（x）＜0成立，
則在x∈（1，e）上g（b）_max=g（-1）=-x+x²-alnx＜0，有解，
令h（x）=x²-x-alnx，只需存在x₀∈（1，e）使得h（x₀）＜0即可，
由于h′（x）=2x-1-

a

x

，
令φ（x）=2x²-x-a，x∈（1，e），φ'（x）=4x-1＞0，
∴φ（x）在（1，e）上單調遞增，φ（x）＞φ（1）=1-a，
①當1-a≥0，即a≤1時，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上單調遞增，∴h（x）＞h（1）=0，不符合題意．
②當1-a＜0，即a＞1時，φ（1）=1-a＜0，φ（e）=2e²-e-a
若a≥2e²-e＞1，則φ（e）＜0，所以在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上單調遞減，
∴存在x₀∈（1，e）使得h（x₀）＜h（1）=0，符合題意．
若2e²-e＞a＞1，則φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在實數m，使得φ（m）=0，
∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上單調遞減，
∴存在x₀∈（1，e）使得h（x₀）＜h（1）=0，符合題意．
綜上所述，當a＞1時，對任意b∈[-2，-1]，都存在x∈（1，e）（e 為自然對數的底數），使得f（x）＜0成立．

點評：本題考查利用導數求函數性質的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答