Question

18．設函數f（x）=（k-x）e^x-x-3．
（1）當k=1時，求f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）若f（x）＜0對任意x＞0恒成立，求整數k的最大值．

Answer 1

分析 （1）因為a=1時，f（x）=e^x-x-2，所以f'（x）=e^x-1，f'（0）=-1，代入點斜式方程，求出切線方程即可；
（2）f（x）＜0對任意x＞0恒成立，分離參數構造函數，利用導數求出函數的最小值，即可求出k的最大值．

解答 解：（1）當k=1時，f（x）=（1-x）e^x-x-3，
∴f′（x）=-xe^x-1
則f'（0）=-1，f（0）=-2，
∴f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y-（-2）=-1×（x-0），
即x+y+2=0．
（2）（k-x）e^x-x-3＜0對任意x＞0恒成立$?k＜x+\frac{x+3}{e^x}$對任意x＞0恒成立$?k＜{（{x+\frac{x+3}{e^x}}）_{min}}$，
令$h（x）=x+\frac{x+3}{e^x}（{x＞0}）$，
則$h'（x）=1+\frac{-x-2}{e^x}=\frac{{{e^x}-x-2}}{e^x}$．
令φ（x）=e^x-x-2，則φ'（x）=e^x-1＞0，
∴φ（x）在（0，+∞）上單調遞增，
又φ（1）=e-3＜0，$φ（{\frac{3}{2}}）={e^{\frac{3}{2}}}-\frac{7}{2}＞0$，
∴存在${x_0}∈（{1，\frac{3}{2}}）$使得φ（x₀）=0，其中h（x）在（1，x₀）上單調遞減，在（x₀，+∞）上單調遞增，
∴$h{（x）_{min}}=h（{x_0}）={x_0}+\frac{{{x_0}+3}}{{{e^{x_0}}}}$，
又φ（x₀）=0，即${e^{x_0}}-{x_0}-2=0$，
∴${e^{x_0}}={x_0}+2$，
∴$h{（x）_{min}}=h（{x_0}）={x_0}+\frac{{{x_0}+3}}{{{e^{x_0}}}}={x_0}+\frac{{{x_0}+3}}{{{x_0}+2}}=1+{x_0}+\frac{1}{{{x_0}+2}}$，
∵${x_0}∈（{1，\frac{3}{2}}）$，h′（x₀）=1-$\frac{1}{（{x}_{0}+2）^{2}}$＞0，即h（x₀）遞增，
∴h（1）＜h（x₀）＜h（$\frac{3}{2}$），
∴$\frac{7}{3}$＜h（x₀）＜$\frac{39}{14}$，
∵k∈Z，
∴k≤2，
∴k的最大值為2．

點評 本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，解題時構造函數是關鍵．