Question

6．設實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{y≥0}\\{y≤-2x+6}\end{array}\right.$，則x+3y的最大值為，8；若x²+4y²≤a恒成立，則實數(shù)a為20．

Answer 1

分析 先根據約束條件畫出可行域，設z=x+3y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=x+3y過可行域內的點B時，從而得到z值即可；要求x²+4y²≤a恒成立只要求出x²+4y²的最大值即可，可以令u=x，v=2y，代出x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2u-v≥0}\\{v≥0}\\{4u+v-12≤0}\end{array}\right.$，根據簡單線性規(guī)劃問題進行求解．

解答 解：先根據約束條件畫出可行域，設z=x+3y，
將最大值轉化為y軸上的截距，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+y-6=0}\end{array}\right.$，得B（2，2）．
當直線z=x+3y即$y=-\frac{x}{3}+\frac{z}{3}$經過點B（ 2，2）時，z最大，
數(shù)形結合，將點B的坐標代入z=x+3y得z最大值為：8；
由x²+4y²≤a可得a≥x²+4y²的最大值，
令x=u，2y=v，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{v}{2}≤u}\\{v≥0}\\{2u+\frac{v}{2}-6≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2u-v≥0}\\{v≥0}\\{4u+v-12≤0}\end{array}\right.$，
則x²+4y²=u²+v²≥OM²=$（\frac{12}{\sqrt{16+1}}）^{2}=\frac{144}{17}$，
又$（{u}^{2}+{v}^{2}）_{max}=O{N}^{2}=20＞O{Q}^{2}=9$，
∴a≥20．
故答案為：8，20．

點評 本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了轉化思想和數(shù)形結合的思想，以及利用幾何意義求最值，解題的關鍵是會利用換元法進行求解，是中檔題．