Question

【題目】設(shè)，，函數(shù).

（Ⅰ）設(shè)不等式的解集為C，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)取值范圍；

（Ⅱ）若對(duì)任意，都有成立，試求時(shí)，的值域；

（Ⅲ）設(shè)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）．（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)，且，可知滿足題意的條件為使函數(shù)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)，可得關(guān)于m的不等式組，解不等式組即可得m的取值范圍；

（Ⅱ）根據(jù)可得對(duì)稱軸，即可求得m的值。則二次函數(shù)在B集合內(nèi)的值域即可求出；

（Ⅲ）對(duì)分類討論，在的不同取值范圍下討論的單調(diào)性，即可求得在不同取值范圍時(shí)的最小值。

（Ⅰ），因?yàn)?/span>，二次函數(shù)圖象

開口向上，且恒成立，故圖象始終與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，由題意，要使這兩個(gè)

交點(diǎn)橫坐標(biāo)，當(dāng)且僅當(dāng)

， 解得

（Ⅱ）對(duì)任意都有，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱

所以，得

所以為上減函數(shù)．

；．

故時(shí)，值域?yàn)?/span>．

（Ⅲ）令，則

（i）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，

從而函數(shù)在上的最小值為．

若，則函數(shù)在上的最小值為，且．

（ii）當(dāng)時(shí)，函數(shù)

若，則函數(shù)在上的最小值為，且

若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，

從而函數(shù)在上的最小值為．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為