Question

已知數列{an}是等差數列,數列{bn}是等比數列,且對任意的,都有.

（1）若{bn }的首項為4,公比為2,求數列{an+bn}的前n項和Sn;

（2）若 ，試探究:數列{bn}中是否存在某一項,它可以表示為該數列中其它項的和？若存在,請求出該項；若不存在,請說明理由．

 

Answer 1

（1） ；（2）不存在.

【解析】

試題分析：對任意的,都有.

所以( )兩式相減可求

（1）由于等比數{bn }的首項為4,公比為2,可知 ,于是可求得 ,

再將數列{an+bn}的前n項和拆分為等差數列{an}的前項和與等比數列的前 項和之和.

（2）由, 假設存在一項 ,可表示為

一方面, ,另一方面,

兩者相矛盾K值不存在.

試題解析：

解:（1）因為,所以當時,

,

兩式相減,得,

而當n=1時,,適合上式,從而,3分

又因為{bn}是首項為4,公比為2的等比數列,即,所以，4分

從而數列{an+bn}的前項和；6分

（2）因為，,所以，. 8分

假設數列{bn}中第k項可以表示為該數列中其它項的和,即,從而,易知 ,(*) 9分

又,

所以,此與(*)矛盾,從而這樣的項不存在． 12分

考點：1、等比數列的通項公式和前 項和公式；2、拆項求和.