Question

17．己知函數f（x）=（2a+2）lnx+2ax²+5，g（x）=$\frac{1}{2}$lnx-$\frac{1}{2{e}^{2}}$x
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若a＞0時，對?x₁，x₂∈[2，2e²]都有10+g（x₁）≤f（x₂）成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先對f（x）求導，對參數a分類討論從而判斷f'（x）是否大于0即可判斷f（x）的單調性；
（2）對?x₁，x₂∈[2，2e²]都有10+g（x₁）≤f（x₂）成立可轉化為：10+g（x）_max≤f（x）_min；

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞）．
f'（x）=$\frac{2a+2}{x}$+4ax=$\frac{2（2a{x}^{2}+a+1）}{x}$
當a≥0時，f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調遞增
當a≤-1時，f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）單調遞減；
當-1＜a＜0時，令f'（x）=0，解得x=$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$
即x∈$（0，\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}）$  時，f'（x）＞0；x∈$（\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}，+∞）$ 時，f'（x）＜0
故f（x）在 $（0，\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}）$ 單調遞增，在 $（\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}，+∞）$ 單調遞減；
（2）對?x₁，x₂∈[2，2e²]都有10+g（x₁）≤f（x₂）成立，可知
10+g（x）_max≤f（x）_min，
根據（1）可知f（x）為單調遞增函數，f（x）_min=f（2）=（2a+2）ln2+8a+5，
g（x）=$\frac{1}{2}lnx$-$\frac{1}{2{e}^{2}}$ x，g'（x）=$\frac{1}{2x}$-$\frac{1}{2{e}^{2}}$=$\frac{{e}^{2}-x}{2x{e}^{2}}$，所以在[2，e²]為增函數，在[e²，2e²]為單調減函數，
g（x）_max=g（e²）=$\frac{1}{2}ln{e}^{2}$-$\frac{1}{2{e}^{2}}×{e}^{2}$=$\frac{1}{2}$，
（2a+2）ln2+8a+5≥$\frac{1}{2}$+10，
∴a≥$\frac{11-4ln2}{4ln2+16}$，
故所求的參數a的取值范圍為a≥$\frac{11-4ln2}{4ln2+16}$．

點評 本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性，以及函數的極值與轉化思想的應用，屬中等題．