Question

7．若函數f（x）=（x-b）lnx（b∈R）在區間[1，e]上單調遞增，則實數b的取值范圍是（-∞，1]．

Answer 1

分析 令f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，對b進行討論得出b的范圍．

解答 解：f′（x）=lnx+$\frac{x-b}{x}$=lnx-$\frac{b}{x}$+1，
∵f（x）在[1，e]上單調遞增，∴f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
若b≤0，顯然f′（x）＞0恒成立，符合題意，
若b＞0，則f′′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{b}{{x}^{2}}$＞0，
∴f′（x）=lnx-$\frac{b}{x}$+1在[1，e]上是增函數，
∴f′（x）≥f′（1）≥0，即-b+1≥0，解得0＜b≤1，
綜上，b的范圍是（-∞，1]．
故答案為（-∞，1]．

點評 本題考查了函數的單調性與導數的關系，函數的最值計算，屬于中檔題．