Question

19．求和：${T_n}=1×1+2×2+3×{2^2}+…+n•{2^{n-1}}$=1+（n-1）•2ⁿ．

Answer 1

分析 利用“錯位相減法”、等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：${T_n}=1×1+2×2+3×{2^2}+…+n•{2^{n-1}}$，
2T_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ，
∴${T_n}=1+（n-1）{2^n}$，
故答案為：1+（n-1）•2ⁿ．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．