Question

2．已知拋物線y²=2px（p＞0）上點(diǎn)（2，a）到焦點(diǎn)F的距離為3，
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知點(diǎn)M為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且直線l：x-y-2=0與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，求三角形ABM的面積．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的定義可知2+$\frac{p}{2}$=3，求得p=2，求得拋物線C的方程；
（2）由題意求得M坐標(biāo)，將直線代入拋物線方程，由韋達(dá)定理求得x₁+x₂=8，x₁•x₂=4，由弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的公式公式求得丨AB丨和d，根據(jù)三角形的面積公式即可求得△ABM的面積．

解答 解：（1）由拋物線的定義可知：得2+$\frac{p}{2}$=3，解得p=2，
∴拋物線C方程為：y²=4x；
（2）∵點(diǎn)M為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程代入拋物線方程：$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：x²-8x+4=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=8，x₁•x₂=4，
丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4$\sqrt{6}$，
M到直線的距離d=$\frac{丨-1-2丨}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
△ABM的面積S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$•4$\sqrt{6}$•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=6$\sqrt{3}$．
△ABM的面積S=6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式和三角形面積公式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．