Question

7．已知$f（α）=\frac{{{{cos}^2}（{\frac{π}{2}-α}）sin（{\frac{π}{2}+α}）cot（{\frac{π}{2}-α}）}}{{sin（{-π+α}）tan（{-α+3π}）}}$
（1）化簡f（α）；
（2）若$f（α）=\frac{1}{8}$，且$\frac{π}{4}＜α＜\frac{π}{2}$，求cosα-sinα的值；
（3）若$α=-\frac{31π}{3}$，求f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用誘導公式化簡求解即可．
（2）代入函數的解析式，利用同角三角函數基本關系式，化簡求解即可．
（3）利用誘導公式化簡求解即可．

解答 解：（1）$f（α）=\frac{{{{cos}^2}（{\frac{π}{2}-α}）sin（{\frac{π}{2}+α}）cot（{\frac{π}{2}-α}）}}{{sin（{-π+α}）tan（{-α+3π}）}}$
=$\frac{si{n}^{2}αcosαtanα}{sinαtanα}$=sinαcosα．
（2）$f（α）=sinαcosα=\frac{1}{8}$
則${（{cosα-sinα}）^2}=1-2sinαcosα=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{π}{4}＜α＜\frac{π}{2}$，
∴sinα＞cosα，
∴$cosα-sinα=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
（3）$f（{-\frac{31π}{3}}）=sin（{-\frac{31π}{3}}）cos（{-\frac{31π}{3}}）=sin（{-\frac{π}{3}}）cos（{-\frac{π}{3}}）=-sin\frac{π}{3}cos\frac{π}{3}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{1}{2}=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

點評 本題考查誘導公式以及同角三角函數基本關系式的應用，考查計算能力．