Question

2．已知函數$f（x）=\frac{{1+a{x^2}}}{x+b}（a≠0）$是奇函數，且函數f（x）的圖象過點（1，3）．
（1）求實數a，b值；
（2）用定義證明函數f（x）在$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$上單調遞增；
（3）求函數[1，+∞）上f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據f（-x）=-f（x）求得b的值，根據函數圖象經過點（1，3），求得a的值．
（2）利用函數的單調性的定義證明f（x）在$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$上單調遞增．
（3）利用函數的單調性求得函數在[1，+∞）上的值域．

解答 解：（1）∵函數$f（x）=\frac{{1+a{x^2}}}{x+b}$是奇函數，則f（-x）=-f（x），
∴$\frac{{1+a{{（-x）}^2}}}{-x+b}=-\frac{{1+a{x^2}}}{x+b}$，a≠0，∴-x+b=-x-b，∴b=0．
又函數圖象經過點（1，3），∴$f（1）=\frac{1+a}{1+b}=3$，∵b=0，∴a=2．
（2）由題意可得 $f（x）=\frac{{1+2{x^2}}}{x}=\frac{1}{x}+2x$，
任取${x_{1，}}{x_2}∈（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$，并設x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{（{{x_2}-{x_1}}）（{1-2{x_1}•{x_2}}）}}{{{x_1}•{x_2}}}$，∵${x_{1，}}{x_2}∈（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$且x₁＜x₂ ，
∴${x_2}-{x_1}＞0，{x_1}•{x_2}＞\frac{1}{2}$，1-2x₁•x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$上單調遞增．
（3）由（2）知f（x）在$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$上單調遞增，∴f（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴f（x）在[1，+∞）上的值域為[f（1），+∞），即[3，+∞）．

點評 本題主要考查函數的奇偶性的應用，判斷函數的單調性，求函數的值域，屬于中檔題．