Question

【題目】已知函數，，．

（1）若且，求函數的最小值；

（2）若對于任意恒成立，求a的取值范圍；

（3）若，求函數的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）先將函數化簡，然后利用基本不等式求解出的最小值；

（2）先根據進行簡單化簡，然后將絕對值不等式平方，根據一次函數在給定區間上恒大于零列出不等式組，求解出的范圍；

（3）因為是增函數，因此只需要考慮與的大小關系即可，對采用分類討論的方法，即可求解出.

（1）因為且時，，

所以，取等號時，

所以的最小值為；

（2）因為對任意恒成立，所以對任意恒成立，

所以即對任意恒成立，

所以，解得：，

所以；

（3），

圖象分別是以和為頂點的開口向上的型線，且兩條射線的斜率為，

當時，即，所以，此時令，所以，

若，，此時恒成立，

所以，此時為圖中紅色部分圖象，對應如下圖：

若，，令，即，所以，

所以，此時為圖中紅色部分圖象，對應如下圖：

當時，即，所以，此時令，所以，

若時，，令，即，所以，

所以，此時為圖中紅色部分圖象，對應如下圖：

若時，，此時恒成立，

所以，此時為圖中紅色部分圖象，對應如下圖：

當時，則，所以，所以恒成立，

令，即，所以，當時，，

若時，則，

所以，此時為圖中紅色部分圖象，對應如下圖：

若時，則，

所以，此時為圖中紅色部分圖象，對應如下圖：

若，則，

所以，此時為圖中紅色部分圖象，對應如下圖：

綜上所述：的最小值為.