Question

20．已知函數f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）cosx．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）設△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知A為銳角，f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用簡單的三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的值域，得出結論．
（Ⅱ）△ABC中，由f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得A的值，利用正弦定理、余弦定理求得a、sinB的值，可得cosB的值，從而求得cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB 的值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）cosx
=（sinx+$\sqrt{3}$cosx）•cosx=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以函數f（x）的值域是[$\frac{\sqrt{3}-2}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+2}{2}$]．
（Ⅱ）△ABC中，∵A為銳角，f（A）=sin（2A+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin（2A+$\frac{π}{3}$）=0，∴2A+$\frac{π}{3}$=π，∴A=$\frac{π}{3}$．
又 b=2，c=3，由余弦定理可得a²=b²+c²-2bc•cosA=4+9-12cos$\frac{π}{3}$=7，∴a=$\sqrt{7}$．
由 $\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，又b＜a，從而B＜A，∴cosB=$\sqrt{{1-sin}^{2}B}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$．
∴cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=$\frac{1}{2}•\frac{2}{\sqrt{7}}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

點評 本題主要考查簡單的三角恒等變換，正弦函數的值域，正弦定理、余弦定理、兩角差的余弦公式的應用，屬于中檔題．