Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).令,分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù),并求得,通過判斷在各區(qū)間內(nèi)的符號(hào),判斷的單調(diào)性及的取值情況.即可根據(jù)的取值情況,判斷極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（2）將代入,并令,即可用表示出與,即可表示出.構(gòu)造函數(shù),并求得,結(jié)合的符號(hào)即可判斷的單調(diào)性,進(jìn)而求得的最小值.

（1）由題可知,

令,得,

記,則

當(dāng)時(shí),；時(shí),；時(shí),,

∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

又

時(shí),；

時(shí),；

時(shí),,

∴當(dāng)時(shí),函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí),函數(shù)無極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí),函數(shù)有1個(gè)極值點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí),設(shè),

則,

∵,∴,即,

故,,

∴,,即.

令,

則,

∵與在均單調(diào)遞增,

∴在均單調(diào)遞增,且,

∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

∴當(dāng)時(shí),取最小值,此時(shí),

即的最小值為.