Question

16．若f（x）是定義在R上的函數，對任意的實數x都有：f（x+6）≤f（x+2）+4和f（x+4）≥f（x+2）+2，且f（1）=1，則f（2017）=2017．

Answer 1

分析 根據f（x+6）≤f（x+2）+4和f（x+4）≥f（x+2）+2，化簡出f（x）的關系式，根據f（1）=1，利用賦值法求解，求出周期，即可計算f（2017）的值．

解答 解：對任意的實數x都有：f（x+6）≤f（x+2）+4和f（x+4）≥f（x+2）+2…①，
令x=x-2，則f（x+6）≤f（x+2）+4轉化為f（x+4）≤f（x）+4…②．
則f（x+4）≥f（x+2）+2轉化為f（x+2）≥f（x）+2…③，
不等式的性質，由①②可得：f（x+2）≤f（x）+2…④．．
由③④可得：f（x+2）=f（x）+2．
∵f（1）=1，
∴f（2017）=f（2017-2）+2=f（2017-2×1008）+2×1008=f（1）+2016=2017．
故答案為：2017．

點評 本題主要考查函數值的計算，根據函數的周期性，進行轉化是解決本題的關鍵．