Question

19．為了加強中國傳統文化教育，某市舉行了中學生成語大賽．高中組和初中組參賽選手按成績分為A、B等級，隨機從中抽取了100名選手進行調查，統計如下：
（Ⅰ）根據已知條件完成下面的2×2列聯表，據此資料你能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下認為選手成績“優秀”與文化程度有關？

	優秀	合格	合計
高中組	45		55
初中組		15
合計

（Ⅱ）若參賽選手共2萬人，用頻率估計概率，試估計其中A等級的選手人數；
（Ⅲ）若6名選手中，A等級的4人，B等級的2人，從這6名選手中依次不放回的取出兩名選手，求取出的兩名選手皆為A等級的概率．
注：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（K2＞K0）	0.10	0.05	0.005
K0	2.706	3.841	7.879

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據已知的2×2列聯表，即可將2×2列聯表補充完整；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：優秀率為0.75，優秀等級人數約為2×0.75=1.5萬人；
（Ⅲ）分別求得這6名選手中依次不放回的取出兩名選手，取出的兩名選手皆為A等級個數，利用古典概型公式，即可求得答案．

解答 解：（Ⅰ）2×2列聯表：

	優秀	合格	合計
高中組	45	10	55
初中組	30	15	45
合計	75	25	100

由K²的參考值k=$\frac{100×（45×15-10×30）^{2}}{75×25×55×45}$≈3.030，
由3.030＜3.841，
∴不能在犯錯誤概率不超過0.05的前提下認為選手成績“優秀”與文化程度有關；
（Ⅱ）由2×2列聯表可知：所抽取的100人中，優秀等級有75人，
故優秀率為0.75，
所參賽選手共2萬人，優秀等級人數約為2×0.75=1.5萬人；
（Ⅲ）這6名選手中依次不放回的取出兩名選手，總共有${C}_{6}^{2}$=15種，
取出的兩名選手皆為A等級，共有${C}_{4}^{2}$=6種，
取出的兩名選手皆為A等級的概率P=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$．
∴取出的兩名選手皆為A等級的概率$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查獨立性檢驗的運用，考查概率的求解，考查學生的讀圖能力，屬于中檔題．