Question

【題目】已知函數．

(1)若函數在處取得極值，求實數的值；

(2)若函數)在區間上為增函數，求實數的取值范圍；

(3)若當時，方程有實數根，求實數的最大值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3)0.

【解析】試題分析：（1）函數在某一點處取得極值即該函數的導函數在該點的函數值為零；

（2）在上為增函數， 在上恒成立，建立關于的不等式，分類討論求解即可；

（3)方程可轉化為在上有解，然后對的值域進行討論，求出 的取值范圍即可.

試題解析： (1) ，

因為函數在處取得極值，所以，即，解得，且經檢驗成立.

(2)因為函數在區間上為增函數，

所以對恒成立．

討論：

當時， 對上恒成立，所以在上為增函數，故符合題意．

當時， ，所以，且對上恒成立，

令，其對稱軸方程為，又因為，所以，所以要使

對上恒成立，只要即可，即，所以.

又因為，所以.

綜上，實數的取值范圍為.

(3)當時，方程可化為.

所以在區間上有解.

引入，令，

則，

所以當時， ，從而函數在上為增函數；

當時， ，從而函數在上為減函數，

因此.又，所以當時， ．

又，所以，因此當時， 取得最大0.