Question

已知f（x）=

a(x-1)(x-3)

（a＜0），定義域為D，任意m，n∈D，點P（m，f（n））組成的圖形為正方形，則實數a的值為（　�。�

• A、-1
• B、-2
• C、-3
• D、-4

Answer 1

考點：函數的定義域及其求法

專題：函數的性質及應用

分析：求出函數的定義域，根據任意m，n∈D，點P（m，f（n））組成的圖形為正方形，得到函數的最大值為2，解方程即可得到結論．

解答：解：要使函數有意義，則a（x-1）（x-3）≥0，
∵a＜0，
∴不等式等價為（x-1）（x-3）≤0，即1≤x≤3，
∴定義域D=[1，3]，
∵任意m，n∈D，點P（m，f（n））組成的圖形為正方形，
∴正方形的邊長為2，
∵f（1）=f（3）=0，
∴函數的最大值為2，
即a（x-1）（x-3）的最大值為4，
設f（x）=a（x-1）（x-3）=ax²-4ax+3a，
∴當x=2時，f（2）=-a=4，
即a=-4，
故選：D．

點評：本題主要考查函數定義域和值域的求解和應用，利用二次函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．