Question

（12分）已知直線l：mx﹣2y+2m=0（m∈R）和橢圓C：（a＞b＞0），橢圓C的離心率為，連接橢圓的四個頂點形成四邊形的面積為2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線l經過的定點為Q，過點Q作斜率為k的直線l′與橢圓C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍；

（3）設直線l與y軸的交點為P，M為橢圓C上的動點，線段PM長度的最大值為f（m），求f（m）的表達式．

 

Answer 1

（1）．（2）．（3）f（m）=．

【解析】

試題分析：（1）直接利用離心率為，以及連接橢圓的四個頂點形成四邊形的面積為2列出關于a，b，c方程，求出a，b，c即可得到橢圓方程；

（2）先求出直線所過的頂點坐標，再聯立直線方程與橢圓方程，利用判別式大于0即可求實數k的取值范圍；

（3）先求出點P的坐標（0，m），設出點M，根據兩點間的距離公式求出|PM|2的表達式，根據M為橢圓C上的動點的限制對m分情況討論即可求出f（m）的表達式．

【解析】
（1）由離心率，得

又因為，所以，即橢圓標準方程為．（4分）

（2）由l：mx﹣2y+2m=0經過定點Q（﹣2，0），則直線l′：y=k（x+2），

由 有（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0．

所以△=64k4﹣8（2k2+1）（4k2﹣1）＞0，可化為 2k2﹣1＜0

解得． （8分）

（3） 由l：mx﹣2y+2m=0，設x=0，則y=m，所以P（0，m）．

設M（x，y）滿足，

則|PM|2=x2+（y﹣m）2=2﹣2y2+（y﹣m ）2=﹣y2﹣2my+m2+2=﹣（y+m）2+2m2+2，

因為﹣1≤y≤1，所以

當|m|＞1時，|MP|的最大值f（m）=1+|m|；

當|m|≤1時，|MP|的最大值f（m）=；

所以f（m）=．（12分）