Question

17．已知數列{a_n}中的前n項和為S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，又b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=n，當n=1時，也適合上式，求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{{n}^{2}+n}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），利用“裂項法”即可求得數列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）當n=1，a₁=S₁=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=n，
當n=1時，也適合上式，
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=n，
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{{n}^{2}+n}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
則數列{b_n}的前n項和為：T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]，
=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2n}{n+1}$，
數列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查數列的通項公式，考查利用“裂項法”求數列的前n項和公式的求法，考查計算能力，屬于中檔題．