Question

已知命題P：函數(shù)f（x）=x³+mx²+mx-m既有極大值又有極小值；命題Q：?x∈R，x²+mx+1≥0，如果“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：導數(shù)的綜合應用,簡易邏輯

分析：根據(jù)極值的概念，及不等式x²+mx+1≥0的解集為R時判別式△的取值即可求出命題P，Q下m的取值范圍，而根據(jù)P∨Q為真命題，P∧Q為假命題即可知道P真Q假，或P假Q(mào)真，所以求出這兩種情況下的m的取值范圍再求并集即可．

解答： 解：若函數(shù)f（x）=x³+mx²+mx-m既有極大值又有極小值，則：
f′（x）=3x²+2mx+m有兩個不同的零點，所以△=4m²-12m＞0；
解得m＜0，或m＞3；
又?x∈R，x²+mx+1≥0為真命題時，△=m²-4≤0，-2≤m≤2；
由“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，知命題P，Q一真一假；
∴

m＜0，或m＞3 m＜-2，或m＞2

，或

0≤m≤3 -2≤m≤2

；
解得m＜-2，或m＞3，或0≤m≤2；
∴實數(shù)m的取值范圍：（-∞，-2）∪[0，2]∪（3，+∞）．

點評：考查極值的概念，在極值點處函數(shù)導數(shù)的取值情況，以及一元二次不等式的解集為R時，判別式△的取值情況，以及P∨Q，P∧Q的真假和P，Q真假的關系．