Question

11．如圖，已知拋物線y²=4x的焦點為F，直線l過F且依次交拋物線及圓（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$于點A，B，C，D四點，則9|AB|+4|CD|的最小值為$\frac{37}{2}$．

Answer 1

分析 求出||AB|=x_A+$\frac{1}{2}$，|CD|=x_D+$\frac{1}{2}$，當l⊥x軸時，則x_D=x_A=1，9|AB|+4|CD|=$\frac{39}{2}$．當l：y=k（x-1）時，代入拋物線方程，得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，9|AB|+4|CD|=$\frac{13}{2}+9{x}_{A}+4{x}_{D}$$≥\frac{13}{2}+2\sqrt{4×9{x}_{A}{x}_{D}}=\frac{37}{2}$．

解答 解：∵y²=4x，焦點F（1，0），準線 l₀：x=-1
由定義得：|AF|=x_A+1，
又∵|AF|=|AB|+$\frac{1}{2}$，∴|AB|=x_A+$\frac{1}{2}$
同理：|CD|=x_D+$\frac{1}{2}$，
當l⊥x軸時，則x_D=x_A=1，∴9|AB|+4|CD|=$\frac{39}{2}$．
當l：y=k（x-1）時，代入拋物線方程，得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x_Ax_D=1，x_A+x_D=1，
∴9|AB|+4|CD|=$\frac{13}{2}+9{x}_{A}+4{x}_{D}$$≥\frac{13}{2}+2\sqrt{4×9{x}_{A}{x}_{D}}=\frac{37}{2}$．
綜上所述4|AB|+9|CD|的最小值為$\frac{37}{2}$．
故答案為：$\frac{37}{2}$．

點評 本題考查圓與拋物線的綜合，考查基本不等式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題