Question

由曲線y=x2，y=

1

4

x2以及直線y=1所圍成的封閉圖形的面積是

4

3

．

Answer 1

分析：要求曲線y=x2，y=

1

4

x2以及直線y=1所圍成的封閉圖形面積，根據圖形的對稱性及定積分的幾何意義，只要求2（∫₀²（1-

1

4

x²）dx-∫₀¹（1-x²）dx）即可．

解答：解：由題意畫出圖形，如圖所示，
得由曲線y=x2，y=

1

4

x2以及直線y=1所圍成的封閉圖形的面積是圖中陰影部分的面積，
y=1與y=x2，y=

1

4

x2在第一象限的兩個交點坐標分別為（1，1）、（2，1）
根據圖形的對稱性及定積分的幾何意義，
陰影部分的面積
=2（∫₀²（1-

1

4

x²）dx-∫₀¹（1-x²）dx）．
所求封閉圖形的面積為
2（∫₀²（1-

1

4

x²）dx-∫₀¹（1-x²）dx）
=2[（x-

1

12

x³）

|

2 0

-（x-

1

3

x³）

|

1 0

]
=2（2-

1

12

×8-1+

1

3

）=

4

3

，
故答案為：

4

3

．

點評：本題考查定積分的基礎知識，由定積分求曲線圍成封閉圖形的面積．