Question

已知函數f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）為偶函數，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-2x]（a＞0且a≠1），求g（x）在（2，3]上值域．

Answer 1

考點：冪函數的單調性、奇偶性及其應用

專題：分類討論,函數的性質及應用

分析：（1）根據題意，結合冪函數的性質，求出m的取值范圍，驗證得出符合題意的m值即可；
（2）求出g（x）的解析式，討論a＞1和0＜a＜1時，求出函數g（x）的值域．

解答： 解：（1）因為f（3）＜f（5），所以由冪函數的性質得，-2m²+m+3＞0，
解得-1＜m＜

3

2

，
又因為m∈Z，所以m=0或m=1，
當m=0時，f（x）=m³不是偶函數；
當m=1時，f（x）=x²是偶函數，
所以m=1，f（x）=x²；
（2）由（1）知g（x）=log_a（x²-2x），
設t=x²-2x，x∈（2，3]，則t∈（0，3]，
此時g（x）在（2，3]上的值域，就是函數y=log_at，t∈（0，3]的值域；
當a＞1時，y=log_at在區間（0，3]上是增函數，所以y∈（-∞，log_a3]；
當0＜a＜1時，y=log_at在區間（0，3]上是減函數，所以y∈[log_a3，+∞）；
所以當a＞1時，函數g（x）的值域為（-∞，log_a3]，
當0＜a＜1時，g（x）的值域為[log_a3，+∞）．

點評：本題考查了函數的性質與應用問題，也考查了分類討論思想的應用問題，是中檔題目．