Question

【題目】已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為,點(diǎn)在橢圓上．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)為橢圓上三個(gè)動(dòng)點(diǎn),在第二象限,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且,判斷是否存在最小值,若存在,求出該最小值,并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)存在,最小值為,

【解析】

(1)把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中,再求出離心率的表達(dá)式,最后根據(jù)三者之間的關(guān)系,可以求出的值,最后寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)利用平面向量數(shù)量積的定義,化簡的表達(dá)式,可以發(fā)現(xiàn)只需判斷面積是否有最小值,設(shè)出直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,求出的表達(dá)式,同理求出的表達(dá)式,最后確定面積的表達(dá)式,利用基本不等式可以求出面積的最小值,最后求出點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)點(diǎn)在橢圓上,則,

又，,

解得,,

橢圓的方程為；

（2）,

只需判斷面積是否有最小值.

設(shè)直線的方程為,

設(shè),,

聯(lián)立,得,

所以,

因?yàn)?/span>，同理可知,

,

此時(shí),

因?yàn)?/span>即時(shí),最小值為,

易知直線的方程為,

聯(lián)立,解得,即.