【題目】已知函數
.
（1）當
時，求函數
在
處的切線方程；
（2）當
時，證明：函數只有一個零點；
（3）若函數的極大值等于
，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）
【解析】
（1）求得函數在
處的導數，由此求得切線方程.
（2）通過求
的二階導數，研究其一階導數，進而求得函數的單調區間，由此證得函數只有一個零點.
（3）當
時根據（2）的結論證得結論成立.當
，根據的二階導數，對
分成
三種情況，利用的一階導數，結合零點的存在性定理，求得實數的取值范圍.
（1）當
時，
，
，
，
，所以在處的切線方程為.
（2）
，令
，
當時，
，
在
上單調遞減，又
，
所以當
時，
，單調遞增，當
時，
，單調遞減
所以
，所以只有一個零點.
（3）①當時，由（2）知，的極大值為，符合題意；
②當時，令
，得
，當
時，
，單調遞增，當
時，，單調遞減，注意到，
（ⅰ）當
時，
，又
.
所以存在
，使得
，當
時， 
，單調遞減，當
時，
，單調遞增，當時，，單調遞減，所以的極大值為，符合題意；
（ⅱ）當時，
恒成立，在上單調遞減，無極值，不合題意；
（ⅲ）當
時，，又
，令
，
在
上單調遞減，
所以
，所以
，
存在
，使得
，
當時，，單調遞減，當
時，，單調遞增，當
時，，單調遞減，所以的極大值為
，且
，不合題意.
綜上可知，的取值范圍是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其中
為自然對數的底數，
。
（Ⅰ）若曲線
在點
處的切線與直線
平行，求
的值；
（Ⅱ）若
，問函數
有無極值點？若有，請求出極值點的個數；若沒有，請說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法正確的是（ ）
①從勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每10分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣.
②某地氣象局預報：5月9日本地降水概率為
，結果這天沒下雨，這表明天氣預報并不科學.
③在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好.
④在回歸直線方程
中，當解釋變量
每增加1個單位時，預報變量
增加0.1個單位.
A.①②B.③④C.①③D.②④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若函數
滿足：集合
中至少存在三個不同的數構成等比數列，則稱函數
是等比源函數．
（
）判斷下列函數：①
；②
；③
中，哪些是等比源函數？（不需證明）
（
）判斷函數
是否為等比源函數，并證明你的結論．
（
）證明： 
， 
，函數
都是等比源函數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設實數
，橢圓
的右焦點為F，過F且斜率為k的直線交D于P、Q兩點，若線段PQ的中點為N，點O是坐標原點，直線ON交直線
于點M．
若點P的橫坐標為1，求點Q的橫坐標；
求證：
；
求
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國古代有著輝煌的數學研究成果，其中的《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《緝古算經》，有豐富多彩的內容，是了解我國古代數學的重要文獻，這5部專著中有3部產生于漢、魏、晉、南北朝時期，某中學擬從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
是橢圓
的兩個焦點,
為坐標原點,離心率為
,點
在橢圓上．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)
為橢圓上三個動點,
在第二象限,
關于原點對稱,且
,判斷
是否存在最小值,若存在,求出該最小值,并求出此時點的坐標,若不存在,說明理由．
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