Question

當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)，求證：x-sinx＜

1

6

x³．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令f（x）=x-

1

6

x³-sin x，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論．

解答： 證明：令f（x）=x-

1

6

x³-sin x，則 f′（x）=1-

1

2

x2-cos x，
f″（x）=-x+sin x，f″′（x）=-1+cos x．
當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)，0＜cos x＜1，即 f″′（x）＜0．
所以f″（x）在（0，

π

2

）上單調(diào)遞減．
所以f″（x）＜f″（0）=0，x屬∈（0，

π

2

）．
所以f′（x）在（0，

π

2

）上單調(diào)遞減．
所以f（x）＜f（0）=0，x∈（0，

π

2

）．
即x-sinx＜

1

6

x³，x∈（0，

π

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．