Question

9．對于任意實數，直線y=x+b與橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（0≤θ＜2π）恒有公共點，則b的取值范圍是[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 求出橢圓的直角坐標方程，與直線y=x+b聯立，得5x²+2bx+b²-16=0，由此利用根的判別式能求出b的取值范圍．

解答 解：∵橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（0≤θ＜2π），∴橢圓的直角坐標方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
把y=x+b代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1，得5x²+2bx+b²-16=0
△=4b²-20（b²-16）≥0
解之得：-2$\sqrt{5}$≤b≤2$\sqrt{5}$．
∴b的取值范圍是[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．
故答案為：[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．