Question

15．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F(xiàn)，G，H分別為BP，BE，PC的中點(diǎn)．
（1）求四棱錐P-BCD外接球（即P，B，C，D四點(diǎn)都在球面上）的表面積；
（2）求證：平面FGH⊥平面AEB；
（3）在線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出線段PM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明PD⊥BD，PC⊥BC，根據(jù)直角三角形的中線特點(diǎn)得出F為外接球的球心，計(jì)算出球的半徑代入面積公式計(jì)算即可；
（2）證明BC⊥平面ABE，F(xiàn)H∥BC即可得出FH⊥平面ABE，于是平面FGH⊥平面AEB；
（3）證明EF⊥PB，故只需FM⊥PB即可，利用相似三角形計(jì)算出PM．

解答 解：（1）連結(jié)FD，F(xiàn)C，
∵EA⊥平面ABCD，PD∥EA，
∴PD⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，
∴PD⊥BD，∵F是PB的中點(diǎn)，
∴DF=$\frac{1}{2}$PB，
同理可得FC=$\frac{1}{2}$PB，
∴F為棱錐P-BCD的外接球的球心．
∵AD=PD=2EA=2，
∴BD=2$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{P{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴四棱錐P-BCD外接球的表面積為4π•（$\frac{2\sqrt{3}}{2}$）²=12π．
（2）證明：∵EA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴EA⊥CB．又CB⊥AB，AB∩AE=A，
∴CB⊥平面ABE．
∵F，H分別為線段PB，PC的中點(diǎn)，
∴FH∥BC．
∴FH⊥平面ABE．又FH?平面FGH，
∴平面FGH⊥平面ABE．
（3）在直角三角形AEB中，∵AE=1，AB=2，∴$BE=\sqrt{5}$．
在直角梯形EADP中，∵AE=1，AD=PD=2，∴$PE=\sqrt{5}$，
∴PE=BE．又F為PB的中點(diǎn)，
∴EF⊥PB．
假設(shè)在線段PC上存在一點(diǎn)M，使PB⊥平面EFM．
只需滿足PB⊥FM即可，
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥CB，又CB⊥CD，PD∩CD=D，
∴CB⊥平面PCD，∵PC?平面PCD，
∴CB⊥PC．若PB⊥FM，則△PFM∽△PCB，∴$\frac{PM}{PB}=\frac{PF}{PC}$．
∵$PB=2\sqrt{3}$，$PF=\sqrt{3}$，$PC=2\sqrt{2}$，
∴$PM=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．
∴線段PC上存在一點(diǎn)M，使PB⊥平面EFM，此時PM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了球與棱錐的位置關(guān)系，面面垂直的判定，線面垂直的判定，屬于中檔題．