Question

9．已知x，y∈R，滿足2≤y≤4-x，x≥1，則$\frac{{{x^2}+{y^2}+2x-2y+2}}{xy-x+y-1}$的最大值為$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 由已知不等式作出可行域，求得t=$\frac{y-1}{x+1}$的范圍，把$\frac{{{x^2}+{y^2}+2x-2y+2}}{xy-x+y-1}$轉化為含有t得代數式，再利用“對勾函數”的單調性求得答案．

解答 解：由2≤y≤4-x，x≥1，作出可行域如圖，
令t=$\frac{y-1}{x+1}$，其幾何意義為可行域內的動點（x，y）與定點P（-1，1）連線的斜率，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4-x}\end{array}\right.$，解得A（1，3），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{y=4-x}\end{array}\right.$，解得B（2，2）．
∵${k}_{PA}=\frac{3-1}{1-（-1）}=1$，${k}_{PB}=\frac{2-1}{2-（-1）}=\frac{1}{3}$．
∴t∈[$\frac{1}{3}$，1]．
$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-2y+2}{xy-x+y-1}=\frac{（x+1）^{2}+（y-1）^{2}}{（x+1）（y-1）}$
=$\frac{x+1}{y-1}+\frac{y-1}{x+1}$=$\frac{1}{t}+t$．
設f（t）=$\frac{1}{t}+t$，則由“對勾函數”的單調性可知，f（t）=$\frac{1}{t}+t$在[$\frac{1}{3}$，1]上為減函數，
∴當t=$\frac{1}{3}$時，$f（x）_{max}=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$．
故答案為：$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查函數的最值及其幾何意義，考查簡單的線性規劃，訓練了利用“對勾函數”的單調性求函數的最值，是中檔題．