Question

7．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面為邊長為1的正方形，側棱AA₁=2
（1）求直線DC與平面ADB₁所成角的大小；
（2）在棱上AA₁是否存在一點P，使得二面角A-B₁C₁-P的大小為30°，若存在，確定P的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）以點D為坐標原點O，DA，DC，DA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線DC與平面ADB₁所成角的大小．
（2）假設存在點P（a，b，c），使得二面角A-B₁C₁-P的大小為30°，利用向量法能求出棱AA₁上存在一點P，使得二面角A-B₁C₁-P的大小為30°，且AP=2PA₁．

解答 解：（1）∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面為邊長為1的正方形，側棱AA₁=2，
∴以點D為坐標原點O，DA，DC，DA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，…..（2分）
D（0，0，0），A（1，0，0），B₁（0，1，$\sqrt{3}$），C（0，1，0），
$\overrightarrow{DA}=（1，0，0）$，$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
設平面ADB₁的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，-$\sqrt{3}$，1），…..（4分）
設直線DC與平面所ADB₁成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{DC}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴θ=$\frac{π}{3}$，
∴直線DC與平面ADB₁所成角的大小為$\frac{π}{3}$．…..（6分）
（2）假設存在點P（a，b，c），使得二面角A-B₁C₁-P的大小為30°，
設$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{P{A}_{1}}$，由A₁（0，0，$\sqrt{3}$），得（a-1，b，c）=λ（-a，-b，$\sqrt{3}-c$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=-aλ}\\{b=-bλ}\\{c=（\sqrt{3}-c）λ}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{λ+1}}\\{b=0}\\{c=\frac{\sqrt{3}λ}{1+λ}}\end{array}\right.$，
B₁（0，1，$\sqrt{3}$），C₁（-1，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{{B}_{1}P}$=（$\frac{1}{1+λ}$，-1，-$\frac{\sqrt{3}}{1+λ}$），
設平面的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=-x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}P}=\frac{1}{1+λ}x-y-\frac{\sqrt{3}}{1+λ}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-$\frac{\sqrt{3}}{1+λ}$，1），…．（9分）
由（1）知，平面AB₁C₁D的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，-$\sqrt{3}$，1），
∵二面角A-B₁C₁-P的大小為30°，
∴cos30°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|\frac{3}{1+λ}+1|}{2\sqrt{1+\frac{3}{（1+λ）^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由λ＞0，解得λ=2，
所以棱AA₁上存在一點P，使得二面角A-B₁C₁-P的大小為30°，且AP=2PA₁．

點評 本題考查線面角的大小的求法，考查滿足條件的點的位置的確定與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．