Question

16．在等比數(shù)列{a_n}中，若a₃，a₁₅是方程x²-6x+8=0的根，則$\frac{{{a_1}{a_{17}}}}{a_9}$=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由韋達(dá)定理得a₃a₁₅=8，由等比數(shù)列通項公式性質(zhì)得：${{a}_{9}}^{2}={a}_{3}{a}_{15}={a}_{1}{a}_{17}$=8，由此能求出$\frac{{{a_1}{a_{17}}}}{a_9}$的值．

解答 解：∵在等比數(shù)列{a_n}中，a₃，a₁₅是方程x²-6x+8=0的根，
∴a₃a₁₅=8，
解方程x²-6x+8=0，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=2}\\{{a}_{15}=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=4}\\{{a}_{15}=2}\end{array}\right.$，
∴a₉＞0，
由等比數(shù)列通項公式性質(zhì)得：${{a}_{9}}^{2}={a}_{3}{a}_{15}={a}_{1}{a}_{17}$=8，
∴$\frac{{{a_1}{a_{17}}}}{a_9}$=a₉=$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查等比數(shù)列中兩項積與另一項的比值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．