Question

已知x，y為正實(shí)數(shù)，求證：

x

2x+y

+

y

x+2y

≤

2

3

．

Answer 1

分析：用分析法，依題意，要證

x

2x+y

+

y

x+2y

≤

2

3

，需證…，即證…，而…成立，從而原結(jié)論成立．

解答：證：因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，
要證

x

2x+y

+

y

x+2y

≤

2

3

，
只要證

x(x+2y)+y(2x+y)

(2x+y)(x+2y)

≤

2

3

，
即證3x²+12xy+3y²≤2（2x+y）（x+2y）              …（3分）
即證x²-2xy+y²≥0，
即證（x-y）²≥0，顯然成立
所以原不等式成立．…（6分）

點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，突出考查分析法的應(yīng)用，考查推理與證明的能力，屬于中檔題．