Question

19．（1）已知a為常數，且0＜a＜1，函數f（x）=（1+x）^a-ax，求函數f（x）在x＞-1上的最大值；
（2）若a，b均為正實數，求證：a^b+b^a＞1．

Answer 1

分析 （1）由f′（x）=a（1+x）^a-1-a=a[（1+x）^a-1-1]，當-1＜x＜0時，f′（x）＞0，當x＞0，f′（x）＜0，f（x）在x=0處取極大值，也是最大值f（0）=1；
（2）①當a，b中有一個大于1時，不妨設a≥1，a^b+b^a＞a^b＞1，②當a，b均屬于（0，1），設a=$\frac{1}{1+m}$，b=$\frac{1}{1+n}$，（m，n＞0），則a^b=$（\frac{1}{1+m}）^{\frac{1}{1+n}}$=$\frac{1}{（1+m）^{\frac{1}{1+n}}}$≥$\frac{1}{1+\frac{m}{1+n}}$=$\frac{1+n}{1+m+n}$，同理b^a≥$\frac{1+m}{1+m+n}$，即可證明a^b+b^a＞1．

解答 解：（1）由f（x）=（1+x）^a-ax，求導f′（x）=a（1+x）^a-1-a=a[（1+x）^a-1-1]，
當-1＜x＜0時，f′（x）＞0，當x＞0，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=0處取極大值，也是最大值f（0）=1，
∴f（x）的最大值為1；
（2）證明：①當a，b中有一個大于1時，不妨設a≥1，
a^b+b^a＞a^b＞1，
②當a，b均屬于（0，1），設a=$\frac{1}{1+m}$，b=$\frac{1}{1+n}$，（m，n＞0），
則a^b=$（\frac{1}{1+m}）^{\frac{1}{1+n}}$=$\frac{1}{（1+m）^{\frac{1}{1+n}}}$≥$\frac{1}{1+\frac{m}{1+n}}$=$\frac{1+n}{1+m+n}$，
同理可知：b^a≥$\frac{1+m}{1+m+n}$，
∴a^b+b^a＞$\frac{1+n}{1+m+n}$+$\frac{1+m}{1+m+n}$=$\frac{2+m+n}{1+m+n}$＞1，
∴a^b+b^a＞1．

點評 本題考查利用導數求函數的單調性及極值，考查不等式的證明，考查分類討論思想，屬于中檔題．