Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，Q為AD的中點，M是棱PC的中點，PA=PD=PC，BC=$\frac{1}{2}$AD=2，CD=4
（1）求證：直線PA∥平面QMB；
（2）若PC=2$\sqrt{5}$，求三棱錐P-MBQ的體積．

Answer 1

分析 （1）連結BQ，AC，交于點O，推導出四邊形BCDQ是矩形，從而BQ∥CD，再求出OM∥PA，由此能證明直線PA∥平面QMB．
（2）由點P到平面BQM的距離等于點A到平面BMQ的距離，從而V_P-MBQ=V_A-MBQ=V_M-ABQ，由此能求出三棱錐P-MBQ的體積．

解答 證明：（1）連結BQ，AC，交于點O，
∵Q是AD中點，∴BC∥QD，BC=QD，
∴四邊形BCDQ是矩形，
∴BQ∥CD，又Q是AD中點，
∴O是AC中點，又M是PC的中點，
∴OM∥PA，又OM?面QMB，PA?平面QMB，
∴直線PA∥平面QMB．
解：（2）由（1）知PA∥平面QBM，
∴點P到平面BQM的距離等于點A到平面BMQ的距離，
∴V_P-MBQ=V_A-MBQ=V_M-ABQ，
∵PA=PC=PD=2$\sqrt{5}$，
∴點P在平面ADC內的射影是△ADC的外心，
又△ADC是直角三角形，
∴點P在平面ABC內的射影是AC的中點O，即PO⊥平面ABCD，
在Rt△PAO中，
∵PA=2$\sqrt{5}$，AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵M是PC的中點，
∴點M到平面ABQ的距離等于$\frac{1}{2}$PO=$\sqrt{3}$，
∴三棱錐P-MBQ的體積V_P-MBQ=V_M-ABQ=$\frac{1}{3}{S}_{△ABQ}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．