Question

(1)一個半徑為r的扇形,若它的周長等于弧所在的半圓的長,那么扇形的圓心角是多少弧度?扇形的面積是多少?

(2)已知一扇形的周長為c(c＞0),當扇形的中心角為多大時,它有最大的面積?

Answer 1

解:(1)設扇形的圓心角是θ弧度,則扇形的弧長是rθ,扇形的周長是2r+rθ.

    由題意可知2r+rθ=πr.

    ∴θ=π-2(弧度).

    扇形的面積為S=r²θ=r²(π-2).

    (2)設扇形的半徑為r,中心角為θ弧度,扇形的面積為S,則c=2r+rθ,r=,S=r²θ=.

    對此方程,求最值有如下三種方法:

    方法一:考慮到運用判別式法求分式函數的最值,則有

    2Sθ²+(8S-c²)θ+8S=0,又θ有實數解,

    ∴Δ=(8S-c²)²-4·2S·8S≥0,即S≤.

    將S=代入上述方程,得θ²-4θ+4=0,解得θ=2.

    ∴當扇形中心角θ=2弧度時,扇形有最大面積S_max=.

    方法二:若考慮到運用均值不等式,則有S=r²θ=·2r·rθ≤()²=·()²=.當且僅當2r=rθ,即θ=2時,取“=”.

    方法三:S==≤=.

    當且僅當θ=2時取“=”.

講評:本題主要考查弧度與角度的換算,弧長公式及扇形面積計算公式.(2)中運用了三種不同方法求得面積的最大值,請讀者比較三種解法的優劣,體會不同解題思路的形成過程,從而優化解題結構.