Question

（1）一個(gè)半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形的圓心角是多少弧度？是多少度？扇形的面積是多少？
（2）一扇形的周長為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？

Answer 1

分析：（1）設(shè)扇形的圓心角，利用弧長公式得到弧長，代入題中條件，求出圓心角的弧度數(shù)，再化為度數(shù)，利用扇形的面積公式求扇形的面積．
（2）設(shè)出弧長和半徑，由周長得到弧長和半徑的關(guān)系，再把弧長和半徑的關(guān)系代入扇形的面積公式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于半徑的二次函數(shù)，配方求出面積的最大值．

解答：解：（1）設(shè)扇形的圓心角是θrad，因?yàn)樯刃蔚幕￠L是rθ，
所以扇形的周長是2r+rθ．依題意，得2r+rθ=πr，
∴θ=π-2=（π-2）×(

180

π

)°≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′，
∴扇形的面積為S=

1

2

r²θ=

1

2

（π-2）r²．
（2）設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l+2r=20，
即l=20-2r（0＜r＜10）①
扇形的面積S=

1

2

lr，將①代入，得S=

1

2

（20-2r）r=-r²+10r=-（r-5）²+25，
所以當(dāng)且僅當(dāng)r=5時(shí)，S有最大值25．此時(shí)
l=20-2×5=10，α=

l

r

=2．所以當(dāng)α=2rad時(shí)，扇形的面積取最大值．

點(diǎn)評：本題考查角的弧度數(shù)與度數(shù)間的轉(zhuǎn)化，扇形的弧長公式和面積公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．