Question

（1）一個半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形的圓心角是多少弧度？是多少度？扇形的面積是多少？

（2）一扇形的周長為20 cm，當扇形的圓心角等于多少弧度時，這個扇形的面積最大？

Answer 1

（1）-2，65°26′扇形的面積為S=r²=（-2）r²

（2）當=2 rad時，扇形的面積取最大值

解析:

（1）設(shè)扇形的圓心角是rad，因為扇形的弧長是r,

所以扇形的周長是2r+r.

依題意，得2r+r=r,

∴=-2=(-2)×

≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′,

∴扇形的面積為S=r²=（-2）r².

（2）設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l+2r=20,

即l=20-2r (0＜r＜10)                                           ①

扇形的面積S=lr，將①代入，得

S=(20-2r)r=-r²+10r=-(r-5)²+25,

所以當且僅當r=5時，S有最大值25.此時

l=20-2×5=10,==2.

所以當=2 rad時，扇形的面積取最大值.