Question

（1）一個半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形的圓心角是多少弧度？是多少度？扇形的面積是多少？
（2）一扇形的周長為20 cm，當扇形的圓心角α等于多少弧度時，這個扇形的面積最大？

Answer 1

解：（1）設扇形的圓心角是θrad，因為扇形的弧長是rθ，
所以扇形的周長是2r+rθ．依題意，得2r+rθ=πr，
∴θ=π-2=（π-2）×≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′，
∴扇形的面積為S=r²θ=（π-2）r²．
（2）設扇形的半徑為r，弧長為l，則l+2r=20，
即l=20-2r（0＜r＜10）①
扇形的面積S=lr，將①代入，得S=（20-2r）r=-r²+10r=-（r-5）²+25，
所以當且僅當r=5時，S有最大值25．此時
l=20-2×5=10，α==2．所以當α=2rad時，扇形的面積取最大值．
分析：（1）設扇形的圓心角，利用弧長公式得到弧長，代入題中條件，求出圓心角的弧度數，再化為度數，利用扇形的面積公式求扇形的面積．
（2）設出弧長和半徑，由周長得到弧長和半徑的關系，再把弧長和半徑的關系代入扇形的面積公式，轉化為關于半徑的二次函數，配方求出面積的最大值．
點評：本題考查角的弧度數與度數間的轉化，扇形的弧長公式和面積公式的應用，體現了轉化的數學思想．