Question

4．雙曲線的中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在x軸上，與圓x²+y²=5交于點(diǎn)P（2，-1），如果圓在點(diǎn)P的切線平行于雙曲線的左頂點(diǎn)與虛軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線方程，將P代入雙曲線方程則$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，由圓的切線斜率k_切與k_OP的乘積為-1，k_切=2，即$\frac{b}{a}$=2，則b=2a，即可求得a和b的值，求雙曲線方程．

解答 解：∵雙曲線的中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在x軸上，
∴雙曲線方程可設(shè)為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）．
∵點(diǎn)P（2，-1）在雙曲線上，則$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，①．
又∵圓x²+y²=5在點(diǎn)P處的切線平行于雙曲線左頂點(diǎn)（-a，0）與虛軸的一個(gè)端點(diǎn)（0，b）的連線，
而圓的切線斜率k_切與k_OP的乘積為-1，
∴k_切=2，即$\frac{b}{a}$=2，∴b=2a②．
解得①②得a²=$\frac{15}{4}$，b²=15，
∴雙曲線方程為$\frac{4{x}^{2}}{15}$-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線的斜率公式，圓與雙曲線的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．