Question

9．設函數f（x）=|$\frac{4}{x}$-ax|，若對任意的正實數a，總存在x₀∈[1，4]，使得f（x₀）≥m，則實數m的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，0]
• B． （-∞，1]
• C． （-∞，2]
• D． （-∞，3]

Answer 1

分析 對任意的正實數a，總存在x₀∈[1，4]，使得f（x₀）≥m?m≤f（x）_max，x∈[1，4]．令u（x）=$\frac{4}{x}$-ax，a＞0，可得函數u（x）在x∈[1，4]單調遞減，u（x）_max=u（1）=4-a，u（x）_min=1-4a．對a分類討論即可得出．

解答 解：對任意的正實數a，總存在x₀∈[1，4]，使得f（x₀）≥m?m≤f（x）_max，x∈[1，4]．
令u（x）=$\frac{4}{x}$-ax，∵a＞0，∴函數u（x）在x∈[1，4]單調遞減，
∴u（x）_max=u（1）=4-a，u（x）_min=1-4a．
①a≥4時，0≥4-a＞1-4a，則f（x）_max=a-1≥3．
②4＞a＞1時，4-a＞0＞1-4a，則f（x）_max={4-a，a-1}_max＜3．
③a≤1時，4-a＞1-4a≥0，則f（x）_max=4-a≥3．
綜上①②③可得：m≤3．
∴實數m的取值范圍為（-∞，3]．
故選：D．

點評 本題考查了含絕對值函數的單調性、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．