Question

已知一元二次方程：（1）mx²-4x+4=0；（2）x²-4mx+4m²-4m-5=0（m∈Z），求方程（1）和（2）的根都是整數的充要條件．

Answer 1

分析：先通過二次方程的判別式判斷出兩個方程有實根的m的范圍，求出整數m的值，將各個m的值代入兩個方程，判斷出有整數根的m的值，反之判斷出兩個方程都有實根．

解答：解：方程（1）有實根?△₁=16-16m≥0，即m≤1；
方程（2）有實根?△₂=16m²-4(4m2-4m-5)≥0⇒m≥-

5

4

，
由-

5

4

≤m≤1且m∈Z得m=-1，0，1．
當m=-1時，方程（1）為x²+4x-4=0，無整數解；
當m=0 時，方程（2）為x²=5，無整數解；
當m=1時，方程（1）有整數解x=2，方程（2）有整數解x=-1或5，
從而（1）、（2）都有整數解⇒m=1．
反過來，由m=1，可推得方程（1）、（2）都有整數解，
所以方程（1）、（2）都有整數解的充要條件是m=1．

點評：本題考查二次方程有實根的條件及求一個命題充要條件的方法：一般先求出必要條件在證明充分性．