Question

已知函數f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+2（x∈R）．當x∈[0，

π

2

]時，求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,復合三角函數的單調性

專題：三角函數的圖像與性質

分析：利用二倍角的正弦和余弦公式化簡，然后利用復合函數的單調性求得當x∈[0，

π

2

]時，函數f（x）的單調遞增區間．

解答： 解：f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+2
=

3

sin2x-1+cos2x+2
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+1
=2sin(2x+

π

6

)+1．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z．
取k=0，得-

π

3

≤x≤

π

6

．
∴當x∈[0，

π

2

]時，求函數f（x）的單調遞增區間為[0，

π

6

]．

點評：本題考查了二倍角的正弦和余弦公式，考查了復合函數的單調性，是中檔題．