Question

對于每個非零自然數n，拋物線y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸交于A_n、B_n兩點，以A_nB_n表示這兩點間的距離，則A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₄B₂₀₁₄的值是

 

．（不作近似計算）

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A_n、B_n兩點的橫坐標分別為p，q，利用韋達定理，可求得A_nB_n=

1

n

-

1

n+1

，從而可求得所求關系式的答案．

解答： 解：設A_n、B_n兩點的橫坐標分別為p，q，
則p，q為方程x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0的兩根，
由韋達定理知，p+q=

2n+1

n(n+1)

，pq=

1

n(n+1)

，
∴A_nB_n=

(p-q)2

=

(p+q)2-4pq

=

[ 2n+1 n(n+1) ]2- 4 n(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₄B₂₀₁₄
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2014

-

1

2015

）
=1-

1

2015

=

2014

2015

．
故答案為：

2014

2015

點評：本題考查拋物線的簡單性質，著重考查韋達定理的應用，求得A_nB_n=

1

n

-

1

n+1

是關鍵，考查裂項法求和，屬于中檔題．