Question

已知直線l經過點（

1

2

，2），其橫截距與縱截距分別為a、b（a、b均為正數），則使a+b≥c恒成立的c的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：綜合題

分析：由已知設出直線l的截距式方程，代入已知點的坐標得到

1

2a

+

2

b

=1，然后靈活運用“1”的代換借助于基本不等式求a+b的最小值，則使a+b≥c恒成立的c的取值范圍為可求．

解答： 解：∵直線l的橫截距與縱截距分別為a、b（a、b均為正數），且直線l經過點（

1

2

，2），
∴可設直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，則

1

2a

+

2

b

=1．
∵a+b=(a+b)•(

1

2a

+

2

b

)=

1

2

+2+

b

2a

+

2a

b

≥

5

2

+2

b 2a • 2a b

=

9

2

．
則使a+b≥c恒成立的c的取值范圍為(-∞，

9

2

]．
故答案為：(-∞，

9

2

]．

點評：本題考查恒成立問題，考查了直線的截距式方程，訓練了利用基本不等式求最值，解答此題的關鍵是對“1”的靈活運用，是中檔題．