Question

5．平面內有向量$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），$\overrightarrow{OP}$=（2，1），點C為直線OP上的一動點．
（1）當$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$取最小值時，求$\overrightarrow{OC}$的坐標；
（2）當點C滿足（1）的條件和結論時，求cos∠ACB的值．
（3）在滿足（2）的條件下，設f（t）=t²+4t+m≥cos∠ACB在t∈[-4，4]時恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件可設$\overrightarrow{OC}=（2k，k）$，而$\overrightarrow{CA}=（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}），\overrightarrow{CB}=（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}）$，從而表示出向量$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$的坐標，進而求得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=5{k}^{2}-20k+12$，這樣便可得出k=2時$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$取最小值，從而得到$\overrightarrow{OC}=（4，2）$；
（2）根據（1）得到的$\overrightarrow{OC}$坐標容易求得$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$的坐標，根據向量夾角余弦公式即可求得$cos∠ACB=-\frac{4\sqrt{17}}{17}$；
（3）由條件便可得到不等式${t}^{2}+4t+m+\frac{4\sqrt{17}}{17}≥0$在t∈[-4，4]上恒成立，這樣△≤0，從而得出m的取值范圍．

解答 解：（1）根據條件，$\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{OP}=（2k，k）$；
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=$（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}）•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}）$
=（1-2k，7-k）•（5-2k，1-k）
=（1-2k）（5-2k）+（7-k）（1-k）
=5k²-20k+12
=5（k-2）²-8；
∴k=2時，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$取最小值，此時$\overrightarrow{OC}=（4，2）$；
（2）$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=（-3，5）$，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=（1，-1）$；
∴$cos∠ACB=\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|}$=$\frac{-8}{\sqrt{34}\sqrt{2}}=-\frac{4\sqrt{17}}{17}$；
（3）根據條件，不等式${t}^{2}+4t+m+\frac{4\sqrt{17}}{17}≥0$在t∈[-4，4]上恒成立；
∴$△=16-4（m+\frac{4\sqrt{17}}{17}）≤0$；
解得$m≥4-\frac{4\sqrt{17}}{17}$；
∴實數m的取值范圍為[$4-\frac{4\sqrt{17}}{17}$，+∞）．

點評 考查共線向量基本定理，向量坐標的減法運算及數乘運算、數量積的運算，以及向量減法的幾何意義，配方法求二次函數最值的方法，向量夾角的余弦公式．