Question

16．已知函數f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為π，且圖象上一個最低點為$M（\frac{2π}{3}，-2）$
（1）求f（x）的解析式
（2）當$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據f（x）的最小正周期求出ω，根據f（x）圖象上一個最低點求出A與φ的值即可；
（2）求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]時2x+$\frac{π}{6}$的取值范圍，從而求出函數f（x）的值域．

解答 解：（1）根據f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期為π，
可得ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2，
再根據f（x）圖象上一個最低點為M（$\frac{2π}{3}$，-2），
可得A=2，sin（2×$\frac{2π}{3}$+φ）=-1，
∴2×$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈z，
即φ=2kπ-$\frac{11π}{6}$；
再由0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
得φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x∈[0，π]，
2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最大值為2×1=2，
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時，函數f（x）取得最小值為2×（-$\frac{1}{2}$）=-1，
故函數f（x）的值域為[-1，2]．

點評 本題主要考查了由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式和定義域、值域的應用問題，是基礎題．